Question

甲、乙两名同学在操场做游戏，他们先在地上画出边长为2m和3m的正方形（如图1，小正方形含在大正方形内），然后蒙上眼睛在一定距离外向方格内掷小石子（投到各点的可能性相等），掷中阴影部分甲同学获胜，否则乙同学获胜（未掷入方格内不算）．
（1）如果你是裁判，你认为这个游戏公平吗为什么
（2）游戏结束后，甲同学对乙同学说，我可以用这种方法来估算不规则图形（如图2）的面积，具体方法如下：
①先将不规则的图形放在一个边长为a的正方形中（如图3），
②向正方形中随意掷点，掷在正方形外不算，
③记录并统计点数，当所掷点数较大时，设掷入正方形内m次，其中n次掷到不规则图形中．于是我就可以估计出这个不规则图形的面积了．
你认为甲同学的这种方法正确吗如果正确，请你帮助甲同学计算出不规则图形的面积，并说明他根据什么规律如果不正确，请说明理由．

Answer 1

分析：求出阴影部分的面积占总面积的比例即可解答．

解答：解：（1）不公平．（1分）
∵P（阴）=

9-4

9

=

5

9

，
即甲同学获胜的概率为

5

9

，乙同学获胜概率为

4

9

．
∵

5

9

＞

4

9

，∴游戏对双方不公平．（6分）

（2）方法正确．（7分）
设不规则图形的面积为S，
掷入不规则图形内的频率=

n

m

≈P（掷入不规则图形内）=

S

a2

，
所以不规则的图形面积S≈

a2n

m

．（9分）
当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率（或频率与概率的关系）．（10分）

点评：本题考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．