Question

【题目】在中，，是直线上一点，以为一条边在右侧作，使，，连接.

（1）如图，当点在延长线上移动时，若，则_____.

（2）设，.

①当点在延长线上移动时，与之间有什么数量关系？请说明理由；

②当点在直线上（不与两点重合）移动时，与之间有什么数量关系？

请直接写出你的结论.

Answer 1

【答案】(1)；(2) ①，理由见解析；②当在线段上时，，当点在线段延长线或反向延长线上时，.

【解析】

（1）证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可；
（2）①证△BAD≌△CAE，推出∠B=∠ACE，根据三角形外角性质求出即可
②分当D在线段BC上时，当点D在线段BC反向延长线上时，当点D在线段BC的延长线上时三种情况讨论，根据三角形外角性质求出即可．

解：（1），

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在和中

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，

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（2）①解：当点在线段的延长线上移动时，与之间的数量关系是，理由是：

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，

在和中

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，

，

，

，

，，

；

②分三种情况：
i）当D在线段BC上时，如图2，α+β=180°，
理由是：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB=∠AEC，∠ABC=∠ACE，
∵∠ADC+∠ADB=180°，
∴∠ADC+∠AEC=180°，
∴∠DAE+∠DCE=180°，
∵∠BAC=∠DAE=α，∠DCE=β，
∴α+β=180°，

ii）当点D在线段BC反向延长线上时，如图3，α=β．
如图3，同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠ABD=∠ACD+∠BAC，
∴∠ACD+∠DCE=∠ACD+∠BAC，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∵∠BAC=α，∠DCE=β，
∴α=β；

iii）当点D在线段BC的延长线上时，如图1，α=β．
综上，当点D在BC上移动时，α=β或α+β=180°．