Question

12．已知y₁=x²-3x-4．
（1）结合y₁的图象，确定x取值范围，使得y₁＞0，y₁=0，y₁＜0；
（2）据（1）确定y₂=$\frac{1}{2}$（|y₁|-y₁）关于x的表达式；
（3）求直线y=2x+m与y₂的图象的交点个数．

Answer 1

分析 （1）利用描点法可画出函数图象，再结合图象可求得使得y₁＞0，y₁=0，y₁＜0的对应的x的取值范围；
（2）根据（1）对应的x的范围，可把y₂=$\frac{1}{2}$（|y₁|-y₁）中的绝对值号去掉，可求得其表达式；
（3）作出函数y₂的图象，根据图象即可求得．

解答 解：（1）画出函数y₁=x²-3x-4的图象如图：

由图象可知当x＜-1或x＞4时，y₁＞0；当x=-1或x=4时，y₁=0；当-1＜x＜4时，y₁＜0；
（2）当x≤-1或x≥4时，y₂=$\frac{1}{2}$（|y₁|-y₁）=0，
当-1＜x＜4时，y₂=$\frac{1}{2}$（|y₁|-y₁）=$\frac{1}{2}$（-y₁-y₁）=-y₁=-x²+3x+4．
（3）令y=0，即直线y=2x+m与x轴的交点，
即2x+m=0，解得x=-$\frac{m}{2}$，

∵x=-1，y=0，
∴-$\frac{m}{2}$=-1，
∴m=2，
当y=y₂，
即2x+m=-x²+3x+4．
∴x²-x+m-4=0，
令△=1-4m+16＞0，
m＜$\frac{17}{4}$，
所以，当m＜2或m＞$\frac{17}{4}$时，直线y=2x+m与y₂的图象有一个交点；
当m=2或m=$\frac{17}{4}$时，直线y=2x+m与y₂的图象有两个交点；
当2＜m＜$\frac{17}{4}$时，直线y=2x+m与y₂的图象有三个交点．

点评 本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数和不等式的关系，（3）根据图象易于求得．