Question

22、已知：如图，⊙A与⊙B外切于点P，BC切⊙A于点C，⊙A与⊙B的内公切线PD交AC于点D，交BC于点M．
（1）求证：CD=PB；
（2）如果DN∥BC，求证：DN是⊙B的切线．

Answer 1

分析：（1）由BC切⊙A于点C，DP切⊙A于点P可以得到∠DCM=∠BPM=90°，根据切线长定理得到MC=MP，然后利用已知条件可以证明DCM≌△BPM，最后利用全等三角形的性质即可求解；
（2）如图，过点B作BH⊥DN，垂足为点H，由HD∥BC，BC⊥CD可以得到HD⊥CD，接着得到∠BCD=∠CDH=∠BHD=90°，进一步得到四边形BCDH是矩形，根据矩形的性质得到BH=CD，而CD=PB，由此得到BH=PB，最后根据切线的判定定理即可求解．

解答：（1）证明：∵BC切⊙A于点C，DP切⊙A于点P，
∴∠DCM=∠BPM=90°，MC=MP．（3分）
∵∠DMC=∠BMP，
∴△DCM≌△BPM．（1分）
∴CD=PB．（1分）

（2）证明：如图，过点B作BH⊥DN，垂足为点H．（1分）
∵HD∥BC，BC⊥CD，∴HD⊥CD．（1分）
∴∠BCD=∠CDH=∠BHD=90°．（1分）
∴四边形BCDH是矩形．（1分）
∴BH=CD．（1分）
∵CD=PB，
∴BH=PB．（1分）
∴DN是⊙B的切线．（1分）

点评：此题主要考查了切线的性质与判定，解题时首先利用切线的性质构造全等条件，然后利用矩形的性质构造切线的判定的条件即可解决问题．