Question

16．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（x，y）中的横坐标x与纵坐标y满足$\sqrt{x-2}$+|y-8|=0，过点A作x轴的垂线，垂足为点D，点E在x轴的负半轴上，且满足AD-OD=OE，线段AE与y轴相交于点F，将线段AD向右平移8个单位长度，得到线段BC．
（1）直接写出点A和点E的坐标：A（2，8），E（-6，0）；
（2）在线段BC上有一点G，连接AG，EG，如果三角形ABG的面积与三角形EGC的面积的和为40，求GC的长；
（3）在（2）的条件下，动点P沿线段CO从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向终点O匀速运动，动点Q沿线段CB从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B匀速运动，已知两个点同时出发，一个点停止运动，同时另一个点也停止运动，如果三角形FGP的面积是三角形FGQ的面积的2倍，求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据非负性得出点A的坐标，进而求出OD，AD，OE，即可得出点E的坐标；
（2）先求出AB，CE，BC，再用三角形的面积公式列方程即可求出CG，
（3）先由运动得出PC，CQ，进而表示出OP，GQ，再用面积的差表示出三角形PFG和三角形FGQ的面积，进而建立方程求解即可得出点P的坐标．

解答 解：（1）∵$\sqrt{x-2}$+|y-8|=0，
∴x=2，y=8，
∴A（2，8），
∴OD=2，AD=8，
∵AD-OD=OE，
∴OE=8-2=6，
∴E（-6，0），
故答案为：2，8；-6，0；
（2）如图1，由平移得，BC=AD=8，
∴BG=BC-CG=8-CG，AB=CD=8，
∴CE=OD+CD+OE=16，
∵三角形ABG的面积与三角形EGC的面积的和为40，
∴S_△ABG+S_△EGC=$\frac{1}{2}$BG×AB+$\frac{1}{2}$CG×CE=$\frac{1}{2}$×（8-CG）×8+$\frac{1}{2}$CG×16=40，
∴CG=2，
（3）如图2，由（2）知，OC=8，OD=2，AD=8，OE=6，
∴DE=8，
∵OF∥AD，
∴$\frac{OE}{ED}=\frac{OF}{AD}$，
∴$\frac{6}{8}=\frac{OF}{8}$，
∴OF=6，
设点P，Q同时运动t秒钟，三角形FGP的面积是三角形FGQ的面积的2倍，
∴PC=2t，CQ=t（0≤t≤5），
∴OP=OC-PC=10-2t，GQ=|t-2|
∴S_△PFG=S_梯形FOCG-S_△POF-S_△PCG
=$\frac{1}{2}$（CG+OF）×OC-$\frac{1}{2}$OP×OF-$\frac{1}{2}$PC×CG
=$\frac{1}{2}$×（2+6）×10-$\frac{1}{2}$×（10-2t）×6-$\frac{1}{2}$×2t×2
=4t+10，
S_△FGQ=$\frac{1}{2}$GQ×OC=$\frac{1}{2}$|t-2|×10=5|t-2|，
∵三角形FGP的面积是三角形FGQ的面积的2倍，
∴4t+10=2×5|t-2|，
①当t＞2时，t-2＞0，点Q在BG上，4t+10=2×5（t-2）
∴t=5，
∴OP=0，
∴P（0，0）
②当t＜2时，t-2＜0，点Q在CG上，4t+10=2×5（2-t），
∴t=$\frac{5}{7}$
∴OP=10-2t=$\frac{60}{7}$，
∴P（$\frac{60}{7}$，0），
∴点P的坐标为（0，0）或（$\frac{60}{7}$，0）．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了非负性，线段的计算，三角形，梯形的面积公式，平移的性质，解本题的关键是掌握三角形的面积的计算方法，是一道比较简单的综合题．