Question

如图，△ABC中，AB=AC，AD，CD分别是△ABC两个外角的平分线。

（1）求证：AC=AD；
（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

（1）根据三角形外角的性质得到∠CAF=∠B+∠ACB，由AB=AC可得∠B=∠ACB，即可得到∠CAF=2∠B，根据角平分线的性质可得∠CAF=2∠FAD，即可得到∠B=∠FAD，则可得AD//BC，根据平行线的性质可得∠D=∠DCE，再根据角平分线的性质可得∠DCE=∠ACD，即可证得结论；
（2）由△ABC中，AB=AC，∠B=60°可证得△ABC是等边三角形，即得AB=BC=AC，由AD=AC可得AD=BC，再结合AD//BC可证得四边形ABCD是平行四边形，再有AB=BC即可证得结论.

试题分析：（1）∵∠CAF是△ABC的外角
∴∠CAF=∠B+∠ACB
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB
∴∠CAF=2∠B 
∵AD是△ABC两个外角的平分线
∴∠CAF=2∠FAD 
∴∠B=∠FAD  
∴AD//BC  
∴∠D=∠DCE
∵CD是△ABC外角的平分线
∴∠DCE=∠ACD 
∴AC=AD；
（2）∵△ABC中，AB=AC，∠B=60° 
∴△ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC  
∵AD=AC   
∴AD=BC 
又∵AD//BC
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB=BC 
∴四边形ABCD是菱形.
点评：此类问题是初中数学的重点，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握.