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    如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，
    92
    ）．

    （1）求抛物线的函数关系式；
    （2）如图①，设该抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；
    （3）如图②，连结AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连结CE，记△CEF的面积为S，求出S的最大值及此时E点的坐标．
    分析：（1）将抛物线的顶点代入到抛物线的顶点式中得到y=a （ x-1）2+
    9
    2
    ，然后将与y轴交于点C代入到上式中即可求得函数的解析式；
    （2）利用等腰三角形的性质分别得出P点的坐标；
    （3）求得抛物线与x轴的交点坐标，然后过点F作FM⊥OB于点M，利用△BEF∽△BAC即可得到函数关系式S=-
    1
    3
    x2+
    2
    3
    x+
    8
    3
    ，配方后即可求得最大值，从而求得E点的坐标．
    解答：解：（1）因为抛物线的顶点为（1，
    9
    2
    ），
    所以设抛物线的函数关系式为y=a （ x-1）2+
    9
    2
    ，
    ∵抛物线与y轴交于点C（0，4），
    ∴a（0-1）2+
    9
    2
    =4．   
    解得：a=-
    1
    2
    ．
    ∴所求抛物线的函数关系式为y=-
    1
    2
    （x-1）2+
    9
    2
    ．

    （2）如图①，过点C作CE⊥对称轴于点E，
    当CD=CP1时，∵点C（0，4），顶点为（1，
    9
    2
    ），
    ∴CD=
    		42+12
    =
    		17
    ，DE=4，
    ∴CP1=
    		17
    ，EP1=4，
    ∴P1的坐标为：（1，8），
    当CD=DP2时，P2的坐标为：（1，
    		17
    ），
    当CP3=DP3时，
    设CP3=DP3=y，
    ∴CE2+EP
     
    2
    3
    =CP
     
    2
    3
    ，
    ∴1+（4-y）2=y2，
    解得：y=
    17
    8
    ，
    ∴P3的坐标为：（1，
    17
    8
    ），
    当CD=CP4时，
    P4的坐标为：（1，-
    		17
    ），
    综上所述：符合条件的所有P点坐标是：
    （1，
    		17
    ），（1，-
    		17
    ），（1，8），（1，
    17
    8
    ）；

    （3）令-
    1
    2
    （x-1）2+
    9
    2
    =0，
    解得：x1=-2，x2=4，．
    ∴抛物线y=-
    1
    2
    （x-1）2+
    9
    2
    与x轴的交点为A（-2，0），B（4，0）．
    过点F作FM⊥OB于点M．
    ∵EF∥AC，
    ∴△BEF∽△BAC．
    MF
    CO
    =
    EB
    AB
    ．
    又∵OC=4，AB=6，
    ∴MF=
    BE
    AB
    ×CO=
    2
    3
    EB．
    设E点坐标（x，0），则EB=4-x．MF=
    2
    3
    （4-x），
    ∴S=S△BCE-S△BEF=
    1
    2
    EB•CO-
    1
    2
    EB•MF，
    =
    1
    2
    EB（OC-MF）=
    1
    2
    （4-x）[4-
    2
    3
    （4-x）]
    =-
    1
    3
    x2+
    2
    3
    x+
    8
    3
    =-
    1
    3
    （x-1）2+3．
    Qa=-
    1
    3
    ＜0，
    ∴S有最大值．
    当x=1时，S最大值=3．   
    此时点E的坐标为（1，0）．
    点评：此题主要考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
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    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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