Question

5．如图，等边△OAB中，G、H分别从O、A出发，以等速沿OA、AB运动，连OH、BG交于F
（1）试判断∠BFH的大小是否变化；
（2）连AF，当G、H运动到AF⊥BG时，求BF：OF的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知OG=AH，由△OAB是等边三角形，得到推出△BOG≌△AOH，得到∠OBG=∠AOH，由于∠BFH=∠BOF+∠OBG=∠BOF+∠=∠BOA=60°，于是得到结论；
（2）如图，作∠HOD=60°，OD交BG延长线于D，连接AD，由（1）可知∠OFG=∠HOD=∠ODF=60°，求得△ODF是等边三角形，于是得到OF=OD=DF，求得∠BOF=∠AOD，推出△BOF≌△AOD，得到BF=AD，∠OBF=∠ODA=120°，证得∠ADF=∠ODA-∠ODF=120°-60°=60°，得到∠DAF=90°-∠CDF=30°，于是得到结论．

解答 解：（1）∠BFH的大小不变，
根据题意可知OG=AH，
∵△OAB是等边三角形，
∴∠BOG=∠OAH=60°，OB=OC，
在△BOG与△OAH中，$\left\{\begin{array}{l}{BO=OA}\\{∠BOG=∠OAH}\\{OG=AH}\end{array}\right.$，
∴△BOG≌△AOH，
∴∠OBG=∠AOH，
∴∠BFH=∠BOF+∠OBG=∠BOF+∠=∠BOA=60°，
∴∠BFH=180°-60°=120°；

（2）如图，作∠HOD=60°，OD交BG延长线于D，连接AD，
由（1）可知∠OFG=∠HOD=∠ODF=60°，
∴△ODF是等边三角形，
∴OF=OD=DF，
∵∠BOF=∠BOA-∠HOA=60°-∠HOA，∠AOD=∠HOD-∠HOA=60°-∠HOA，
∴∠BOF=∠AOD，
∵OB=OA，∠BOF=∠AOD，OF=OD，
在△BOF与△AOD中，$\left\{\begin{array}{l}{OB=OA}\\{∠BOF=∠AOD}\\{OF=OD}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△AOD，
∴BF=AD，∠OBF=∠ODA=120°，
∴∠ADF=∠ODA-∠ODF=120°-60°=60°，
∴∠DAF=90°-∠CDF=30°，
∴OF：BF=DF：AD=1：2．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．