Question

1．点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1．如图所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．
（1）请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
（2）直接写出线段BE长的最大值．

Answer 1

分析 （1）BE=DC，理由是：利用等边三角形得边和角的条件证明△DAC≌△BAE，可以得结论； 
（2）当∠ABC=120°时，即点D在射线CB上，如图2，可得线段DC的最大值，即BE的最大值，BE=CD=BD+BC=1+3=4．

解答 解：（1）如图1，BE=DC，理由是：
∵等边△ABD和等边△ACE，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠DAC=BAE，
∴△DAC≌△BAE，
∴BE=DC；
（2）当∠ABC=120°时，即点D在射线CB上，如图2，
可得线段DC的长最大，CD=BD+BC=1+3=4，
同理得△DAC≌△BAE，
∴BE=DC=4，
即可得BE长的最大值是4．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定及等边三角形的性质，以三角形的两边向外作两个等边三角形，得出两个全等三角形，是常考题型；同时，本题还求线段的最大值问题，根据三角形两边之和大于第三边，当三角形两边成一直线时，第三边最长．