Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°．E是BC上的一点，连接AE、DE，且△ABE≌△ECD．
（1）求证：△AED是等腰直角三角形；
（2）若△AED的面积是

25

2

，△ABE的面积是6，求△ABE的周长；
（3）若△AED的面积是a，直角梯形ABCD的面积是b，试判断b与2a的大小，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）等腰直角三角形的判定问题，先求出两边相等，再求一直角即可．
（2）有三角形的面积，在直角三角形中，运用勾股定理求出各边长，
（2）面积计算问题，题中△ABE≌△ECD，所以两三角形面积相等，题中△AED的面积大于两个三角形ABE的面积，故可比较2△AED与直角梯形的面积大小．

解答：（1）证明：∵△ABE≌△ECD，∴AE=ED，∠BAE=∠CED，
又∠BEA+∠BAE=90°∴∠BEA+∠DEC=90°
∴∠AED=90°．
∴△AED是等腰直角三角形．

（2）由题意得，

1

2

 •AE•AE= 

25

2

，解之得，AE=5，
在Rt△ABE中

1

2

 •AB•BE=6，AB²+BE²=AE²=25，
解之得，AB=4，BE=3，
所以△ABE的周长为3+4+5=12；

（3）如图所示，过点B作BF⊥AE，
在Rt△BEF中，BE＞BF，假设∠BAE=30°，AE=2BE＞2BF，
因为△ABE≌△ECD，
所以△ADE的面积＞2△ABE的面积，即b＜2a．

点评：熟练掌握等腰三角形的性质及判定，能够运用勾股定理求解一些简单的面积问题．