Question

已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点，求证：
（1）△ACE≌△BCD；
（2）AD²+AE²=DE²．

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形性质得出CE=CD，AC=CB，∠ACB=∠DCE=90°，求出∠ACE=∠DCB，根据SAS推出即可；
（2）求出∠B=∠BAC=45°，根据全等得出∠B=∠CAE=45°，求出∠DAE=90°，根据勾股定理求出即可．

解答：
证明：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，
∴CE=CD，AC=CB，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，
∴∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△BCD中

AC=BC ∠ACE=∠DCB CE=CD

∴△ACE≌△BCD（SAS）．

（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠BAC=45°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠B=∠CAE=45°，
∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，
∴在Rt△AED中，由勾股定理得：AD²+AE²=DE²．

点评：本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生的推理能力．