分析 (1)根据圆周角定理得到∠ADC=∠BAC,根据三角形的外角的性质证明即可;
(2)连接BD,作EF⊥BD于D,OG⊥BD于G,EH⊥OG于H,根据勾股定理求出BD,根据三角形的内心的概念得到E是△ADB的内心,根据勾股定理计算即可.
解答 (1)证明:∵C是半圆的中点,
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$,
∴∠ADC=∠BAC,
∵CE=CA,
∴∠CAE=∠CEA,又∠CEA=∠ADC+∠EAD,
∴∠BAE=∠DAE,即AE平分∠BAD;
(2)解:连接BD,作EF⊥BD于D,OG⊥BD于G,EH⊥OG于H,
由勾股定理得,BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=8,
∵C是半圆的中点,
∴DC平分∠ADB,又AE平分∠BAD,
∴E是△ADB的内心,
∴EF=$\frac{6+8-10}{2}$=2,
∵∠CDB=45°,
∴DF=EF=2,
∵OG⊥BD,
∴DG=$\frac{1}{2}$BD=4,
∴FG=2,
∴EH=FG=2,
∵OG是△BAD的中位线,
∴OG=$\frac{1}{2}$AD=3,
∴OH=1,
∴OE=$\sqrt{E{H}^{2}+O{H}^{2}}$=$\sqrt{5}$.
点评 本题考查的是圆周角定理、三角形的内心、三角形中位线定理,掌握三角形的内接圆的半径的求法是解题的关键.
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