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15.如图,AB是⊙O的直径,C是半圆的中点,连接CA,E是弦CD上一点,CE=CA,连接AD.
(1)求证:AE平分∠BAD;
(2)连接OE,若AB=10,AD=6,求OE的长.

分析 (1)根据圆周角定理得到∠ADC=∠BAC,根据三角形的外角的性质证明即可;
(2)连接BD,作EF⊥BD于D,OG⊥BD于G,EH⊥OG于H,根据勾股定理求出BD,根据三角形的内心的概念得到E是△ADB的内心,根据勾股定理计算即可.

解答 (1)证明:∵C是半圆的中点,
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$,
∴∠ADC=∠BAC,
∵CE=CA,
∴∠CAE=∠CEA,又∠CEA=∠ADC+∠EAD,
∴∠BAE=∠DAE,即AE平分∠BAD;
(2)解:连接BD,作EF⊥BD于D,OG⊥BD于G,EH⊥OG于H,
由勾股定理得,BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=8,
∵C是半圆的中点,
∴DC平分∠ADB,又AE平分∠BAD,
∴E是△ADB的内心,
∴EF=$\frac{6+8-10}{2}$=2,
∵∠CDB=45°,
∴DF=EF=2,
∵OG⊥BD,
∴DG=$\frac{1}{2}$BD=4,
∴FG=2,
∴EH=FG=2,
∵OG是△BAD的中位线,
∴OG=$\frac{1}{2}$AD=3,
∴OH=1,
∴OE=$\sqrt{E{H}^{2}+O{H}^{2}}$=$\sqrt{5}$.

点评 本题考查的是圆周角定理、三角形的内心、三角形中位线定理,掌握三角形的内接圆的半径的求法是解题的关键.

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5.正六边形ABCDEF内接于⊙O,图中△FBD的面积为12$\sqrt{3}$,求⊙O的半径.

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6.如图,在直角△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线AD交BC于点D,若DE垂直平分AB.
(1)求∠B的度数;
(2)若AB=10,△ACD的周长为12.求△ACB的周长.

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3.若将一个自然数从左到右各数位上的数字排列成一列后,后一个数减去前一个数的差始终是同一个常数,则这个自然数叫做“阶梯数”.如:四位数1357排列后为:1,3,5,7,因为7-5=5-3=3-1=2,且差2是常数,故1357是一个四位阶梯数.又如,9876,55555等数也是阶梯数.
        若一个自然数从左到右各数位上的数字和另一个自然数从右到左各数位上的数字完全相同,则称这两个自然数互为逆序数,简称“互逆数”.例如:1357与7531,9876与6789,…,都是互逆数.
(1)写出任意一个三位阶梯数及其互逆数:123、123和321.并证明任意一个三位数与其互逆数的差能被198整除(设百位数为a,后一个数位于前一个数位差的常数为b,1≤a≤9,0≤b≤4,且a、b为整数).
(2)若一个四位阶梯数能被6整除,求出符合条件的所有四位阶梯数.

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10.如图:在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,△AOB的面积为18$\sqrt{3}$,∠ABO=60°,点C在OB上,OC=4,BC=2,动点P从A点出发沿射线AB以每秒2个单位的速度运动,连接OP.
(1)求A点坐标;
(2)用含有t的式子表示△POB的面积.(直接写出t的取值范围)
(3)连接PC将线段PC绕P点逆时针旋转60°得到线段PQ,过点Q做QH垂直射线AB于H,当PH=6时,求t值.

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20.确定以方程组$\left\{\begin{array}{l}{1.5x+y=3}\\{2x+y=0}\end{array}\right.$的解为坐标的点所在的象限.
(1)小明想到了先求方程组的解,然后确定此方程组的解为坐标的点所在的象限.请你按小明的方法做一做,写出解题过程.
(2)请你用其它数学方法试着解决此问题.

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7.计算:(-$\frac{c}{{a}^{2}b}$)-3•(-$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$)÷($\frac{a{c}^{-1}}{b}$)-2

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3.河里的水位第一天上升了6厘米,第二天下降了5厘米,第三天又下降了3厘米,第四天上升了7厘米,则第四天河水水位比刚开始时的水位高5厘米.

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4.已知:如图,在正方形ABCD中,Q是CD中点,BP=3CP.
(1)说明:△ADQ∽△QCP;     
(2)求∠AQP的度数.

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