Question

【题目】如图1，点E为正方形ABCD的边CD上一点，DF⊥AE于点F，交AC于点M，交BC于点G，在CD上取一点G′，使CG′＝CG．连接MG′．

（1）求证：∠AED＝∠CG′M；

（2）如图2，连接BD交AE于点N，连接MN，MG′交AE于H．

①试判断MN与CD的位置关系，并说明理由；

②若AB＝12，DG′＝G′E，求AH的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①MN∥CD，见解析；②AH＝3．

【解析】

（1）如图1，根据同角的余角相等可得：∠AED=∠DGC，证明△GCM≌△G'CM，即可得出∠AED=∠CG'M；

（2）①根据同位角相等，两直线平行，由∠ONM=45°，∠ODC=45°，则∠ONM=∠ODC，则MN∥CD；

②如图2，先证明△ADE≌△DCG，则DE=CG=CG'，可知E、G'是DC的三等分点，则CG=2BG=8，根据勾股定理得：AE=4=4，由平行线分线段成比例定理的比例式，计算AN和EN的长，由勾股定理可得ON的长，由MN∥EG'，则△MNH∽△G'EH，列比例式可得结论．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝CD，∠ADC＝∠DCG＝90°，

∴∠DGC+∠CDG＝90°，

∵AE⊥DF，

∴∠DFE＝90°，

∴∠AED+∠CDG＝90°，

∴∠AED＝∠DGC，

∵CG＝CG'，∠MCG＝∠MCG'，CM＝CM，

∴△GCM≌△G'CM，

∴∠DGC＝∠CG'M，

∴∠AED＝∠CG'M；

（2）解：①MN∥CD，理由如下：

∵∠AOD＝∠NFD＝90°，∠ANO＝∠DNF，

∴∠OAN＝∠ODM，

∵AO＝OD，∠AON＝∠DOM＝90°，

∴△AON≌△DOM，

∴ON＝OM，

∴△NOM是等腰直角三角形，

∴∠ONM＝45°，

∵∠ODC＝45°，

∴∠ONM＝∠ODC，

∴MN∥CD；

②在△ADE和△DCG中，，

∴△ADE≌△DCG（AAS），

∴DE＝CG，

∵CG＝CG'，

∴CG'＝CG＝DE，

∴DG'＝CE＝EG'＝CD＝AB＝4，

∴CG＝2BG＝8，

由勾股定理得：AE＝＝4，

∵AB∥DE，

∴＝＝＝，

∴AN＝×4＝，EN＝×4＝，

∵AO＝＝6，

∴ON＝＝＝，

∵△MON是等腰直角三角形，

∴MN＝ON＝，

∵MN∥EG'，

∴△MNH∽△G'EH，

∴＝＝，

∴NH＝×＝，EH＝×＝，

∴AH＝AE﹣EH＝4﹣＝3．