Question

12．△ABC的三边a、b、c满足b=8-c，a²-bc-12a+52=0
（1）若b、c的值是一个一元二次方程的实解，写出这个一元二次方程．
（2）求出a、b、c的值，并指出△ABC的形状（按边分类）．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：b+c=8，bc=a²-12a+52，利用根与系数的关系得出一个一元二次方程即可；
（2）将b=8-c，代入bc中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出a与c的值，进而求出b的值，即可确定出三角形形状．

解答 解：（1）∵b=8-c，a²-bc-12a+52=0，
∴b+c=8，bc=a²-12a+52，
∴以b、c为解得一元二次方程是x²-8x+a²-12a+52=0
（2）∵b=8-c，
∴bc=（8-c）c=-c²+8c，
∴bc=a²-12a+52=-c²+8c，
即a²-12a+36+16+c²-8c=0，
整理得：（a-6）²+（c-4）²=0，
∵（a-6）²≥0，（c-4）²≥0，
∴a-6=0，即a=6；c-4=0，即c=4，
∴b=8-4=4，
则△ABC为等腰三角形．

点评 此题考查了根与系数的关系，配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．