Question

【题目】（问题情境）定义：如图1，点E在四边形ABCD的边CD上，若AE、BE将四边形ABCD分割成三个相似的三角形，则称点E为该四边形的相似点．

（1）若相似点在四边形ABCD的边CD上， 且AE、BE将四边形ABCD分割成三个正三角形，则四边形ABCD的四边形之比(按边长从小到大排序)为_______．

（2）若相似点在四边形ABCD的边CD上，且AE、BE将四边形ABCD分割成三个全等的等腰直角三角形，则四边形ABCD的四边形之比(按边长从小到大排序)为_______．

（3）（探索研究）

如图2，点E为四边形ABCD边上的相似点，且AE、BE将四边形ABCD分割成三个全等的三角形，已知∠ABC=90°，AD=AB=BC=2，求边CD的长．

（4）（问题解决）

如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E为四边形ABCD的边CD上的相似点，且AD=a，AB=b，BC=c(其中a≠c)，此时边CD的长为多少？请用含a、b、c的代数式直接写出所有可能的结果．

Answer 1

【答案】（1）四边长度的比为1:1：1:2；（2）四边之比为1:1：：2；（3）CD=；（4）CD=

【解析】

（1）根据相似点的定义以及分成三个正三角形得出这三个三角形全等，从而得出边之比；

（2）根据等腰直角三角形边之间的关系为设参数即可得出答案；

（3）根据全等以及寻找出特殊角度的三角形再进行求解；

（4）根据和相似点的定义判断出四边形是平行四边形，从而得出，再根据对应边成比例计算，从而得出答案．

（1）∵均为正三角形，且三个三角形相似

∴这三个三角形全等

设

∴则

∴四边长度的比为

（2）∵三个三角形为等腰直角三角形

∴设，则

∴四边之比为

（3）过点A作AF⊥DE如图：

∵

∴

∴在直角三角形中：

在直角三角形中,,

∴=++=

（4）∵

根据相似点的含义可知，

∴,,

∵

∴四边形是平行四边形

∴

∴

∴

∴