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(2007•南充)如图,点M(4,0),以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B.已知抛物线y=x2+bx+c过点A和B,与y轴交于点C.
(1)求点C的坐标,并画出抛物线的大致图象;
(2)点Q(8,m)在抛物线y=x2+bx+c上,点P为此抛物线对称轴上一个动点,求PQ+PB的最小值;
(3)CE是过点C的⊙M的切线,点E是切点,求OE所在直线的解析式.

【答案】分析:(1)根据题意可知点A,B的坐标分别为(2,0),(6,0),代入函数解析式即可求得抛物线的解析式,即可得点C的坐标;
(2)根据图象可得PQ+PB的最小值即是AQ的长,所以抛物线对称轴l是x=4.所以Q(8,m)抛物线上,∴m=2.过点Q作QK⊥x轴于点K,则K(8,0),QK=2,AK=6,求的AQ的值即可;
(3)此题首先要证得OE∥CM,利用待定系数法求得CM的解析式,即可求得OE的解析式.
解答:解:(1)由已知,得A(2,0),B(6,0),
∵抛物线y=x2+bx+c过点A和B,

解得
则抛物线的解析式为
y=x2-x+2.
故C(0,2).(2分)
(说明:抛物线的大致图象要过点A、B、C,其开口方向、顶点和对称轴相对准确)(3分)

(2)如图①,抛物线对称轴l是x=4.
∵Q(8,m)在抛物线上,
∴m=2.过点Q作QK⊥x轴于点K,则K(8,0),QK=2,AK=6,
∴AQ=.(5分)
又∵B(6,0)与A(2,0)关于对称轴l对称,
∴PQ+PB的最小值=AQ=

(3)如图②,连接EM和CM.
由已知,得EM=OC=2.
∵CE是⊙M的切线,
∴∠DEM=90°,
则∠DEM=∠DOC.
又∵∠ODC=∠EDM.
故△DEM≌△DOC.
∴OD=DE,CD=MD.
又在△ODE和△MDC中,∠ODE=∠MDC,∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC.
则OE∥CM.(7分)
设CM所在直线的解析式为y=kx+b,CM过点C(0,2),M(4,0),

解得
直线CM的解析式为
又∵直线OE过原点O,且OE∥CM,
∴OE的解析式为y=x.(8分)
点评:此题考查了二次函数与一次函数以及圆的综合知识,要注意待定系数法求解析式,要注意数形结合思想的应用.
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