Question

6．已知相互垂直的直线l₁：y=k₁x+2-k₁与l₂：y=k₂x+2-3k₂交于点P，O为坐标原点，则OP的最大值是（　　）

• A． $\sqrt{13}$
• B． $\sqrt{3}+2$
• C． 4$\sqrt{2}+9$
• D． 2$\sqrt{2}+1$

Answer 1

分析 根据已知条件得到直线l₁过A（1，2），直线l₂过B（3，2），于是得到∠APB=90°，求得AB=2，得到点P在AB为直径的圆上，设圆心为C，求得C（2，2），如图，连接OC并延长交⊙C于P′和P″，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：对于y=k₁x+2-k₁，当x=1时，y=2，
∴直线l₁：y=k₁x+2-k₁过A（1，2），
对于y=k₂x+2-3k₂，当x=3时，y=2，
∴直线l₂：y=k₂x+2-3k₂过B（3，2），
∵直线l₁⊥l₂，垂足为P，
∴∠APB=90°，
∵AB∥x轴，
∴AB=2，
∴点P在AB为直径的圆上，
设圆心为C，
∴C（2，2），
如图，连接OC并延长交⊙C于P′和P″，
则OP″=OP的最大值，
∵C（2，2），
∴OC=2$\sqrt{2}$，
∴OP″=2$\sqrt{2}$+1，
即OP的最大值是2$\sqrt{2}$+1，
故选D．

点评 本题考查了两条直线平行或相交，圆周角定理，正确的作出图形是解题的关键．