分析 (1)连接OD,如图2所示,由圆O与AB相切,得到OD与AB垂直,根据tan∠BAC与OD的值,求出AD与OA的长,即可确定出cos∠BAC的值;
(2)如图1所示,连接OA,由圆O与AB相切,得到OA与AB垂直,再由OG垂直于AC,得到∠AOG与∠OAG互余,利用锐角三角函数定义求出OG的长即可;
(3)如图3所示,连接OD交AC于点F,由圆O与AB相切,得到OD与AB相切,利用切线的性质得到OD与AB垂直,根据OG与AC垂直,利用同角的余角相等得到∠FOG与∠BAC相等,利用锐角三角函数定义用x表示出OG,并求出x的范围即可.
解答 解:(1)如图2,连接OD,
∵⊙O与AB相切,
∴OD⊥AB,
∵tan∠BAC=$\frac{1}{2}$,OD=2,
∴AD=4,OA=2$\sqrt{5}$,
∴cos∠BAC=$\frac{AD}{OA}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$;
(2)如图1,连接OA,
∵⊙O与AB相切,
∴OA⊥AB,
又∵OG⊥AC,
∴∠AOG=∠BAC=90°-∠OAG,
∵cos∠AOG=$\frac{OG}{OA}$,
∴OG=OA•cos∠AOG=2×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$;
(3)如图3,连接OD交AC于点F,
∵⊙O与AB相切,
∴OD⊥AB,
∴∠FOG=90°-∠OFG,
又∵OG⊥AC,
∴∠BAC=90°-∠AFD,
又∵∠FOG=∠AFD,
∴∠FOG=∠BAC,
∵tan∠BAC=$\frac{FD}{AD}$,
∴FD=AD•tan∠BAC=$\frac{1}{2}$x,
∴OF=2-$\frac{1}{2}$x,
∵cos∠BAC=cos∠FOG=$\frac{OG}{OF}$,
∴OG=OF•cos∠FOG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$(2-$\frac{1}{2}$x)=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$x+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$,x的取值范围是:0≤x≤4.
点评 此题属于圆综合题,涉及的知识有:切线的性质,锐角三角函数定义,熟练掌握切线的性质是解本题的关键.
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A. | 45° | B. | 60° | C. | 90° | D. | 120° |
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