Question

17．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，有列结论：①AF=AE  ②EF=2$\sqrt{5}$③AF=EF④S_△AEF=10，其中正确的结论有①②④．（填序号）

Answer 1

分析 设BE=x，表示出CE=8-x，根据翻折的性质可得AE=CE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x，再根据翻折的性质可得∠AEF=∠CEF，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE=∠CEF，然后求出∠AEF=∠AFE，根据等角对等边可得AE=AF，过点E作EH⊥AD于H，可得四边形ABEH是矩形，根据矩形的性质求出EH、AH，然后求出FH，再利用勾股定理列式计算即可得解．

解答 解：设BE=x，则CE=BC-BE=8-x，
∵沿EF翻折后点C与点A重合，
∴AE=CE=8-x，
在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，
即4²+x²=（8-x）²
解得x=3，
∴AE=8-3=5，
由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF=5，
∴①正确；
在Rt△ABE和Rt△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{AG=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AGF（HL），
∴B正确；
过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，
∴EH=AB=4，
AH=BE=3，
∴FH=AF-AH=5-3=2，
在Rt△EFH中，EF=2$\sqrt{5}$，
∴②正确；
∵△AEF不是等边三角形，
∴EF≠AF，
故③错误；
△AEF中，AF=5，则S△AEF=$\frac{1}{2}$×5×4=10．
故④正确．
故答案是：①②④．

点评 本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键，也是本题的突破口．