Question

如图，已知抛物线y=

1

2

x2+bx+c与x轴交于A （-4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设E是线段AB上的动点，当△EBC是等腰三角形时，求E点的坐标；
（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，最大值为多少，并求此时P点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法得出关于b，c的解析式，进而求出二次函数解析式；
（2）分别根据当BE=BC时，当CE=CB时以及当EB=EC时，求出E点坐标即可；
（3）首先求出直线AC的函数表达式，进而利用P（m，

1

2

m2+

3

2

m-2），则Q（m，-

1

2

m-2） （-4≤m≤0），PQ=(-

1

2

m-2)-(

1

2

m2+

3

2

m-2)，求出最值，进而得出P点坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=

1

2

x2+bx+c与x轴交于A （-4，0）和B（1，0）两点，
∴

1 2 ×(-4)2-4b+c=0 1 2 ×12+b+c=0

，
解得：

b= 3 2 c=-2

，
∴此抛物线的解析式为：y=

1

2

x2+

3

2

x-2；

（2）∵抛物线的解析式为：y=

1

2

x2+

3

2

x-2，
∴x=0时，y=-2，
∴CO=2，
∵B（1，0），
∴BO=1，
∴BC=

5

，
当BE=BC时，
∴BE=

5

，
∴EO=-（

5

-1）=1-

5

，
E（1-

5

，0），
当CE=CB时，EO=BO，
∴E（-1，0），
当EB=EC时，设OE=x，则EC=BE=x+1，
在RT△EOC中，x²+2²=（x+1）²，
解得：x=

3

2

，
E（-

3

2

，0）；

（3）∵A（-4，0），C（0，-2），
∴设直线AC的函数表达式为y=kx+a，
∴

-4k+a=0 a=-2

，
解得：

a=-2 k=- 1 2

，
∴直线AC的函数表达式为y=-

1

2

x-2，
设P（m，

1

2

m2+

3

2

m-2），则Q（m，-

1

2

m-2）  （-4≤m≤0），
PQ=(-

1

2

m-2)-(

1

2

m2+

3

2

m-2)，
=-

1

2

m2-2m，
=-

1

2

(m+2)2+2，
∵-4≤m≤0，
∴当m=-2时，PQ的值有最大值为2，此时P（-2，-3）．

点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及待定系数法求一次函数、二次函数解析式和等腰三角形的判定等知识，利用分类讨论得出是解题关键．