Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=

1

2

x+1交x轴于点A，交y轴于点B．试在y轴上找一点P，使△AOP与△AOB相似，你能找出几个这样的点（点P与点B不重合）？分别求出对应AP的长度．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,一次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：先根据直线y=

1

2

x+1求出OA，OB的长，再根据两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似得到OP的长，进一步得到AP的长．

解答：解：∵当x=0时，y=1，
当y=0时，x=-2，
∴OA=2，OB=1，
∵∠AOB=∠AOP=90°，
∴当OA：OB=OP：OA时，△AOP与△AOB相似，
∴2：1=OP：2，
解得OP=4，
故有2个这样的P点为：（0，-4）或（0，4），
AP=

OA2+OP2

=2

5

．
若△AOP≌△AOB，则AP=

5

．

点评：此题考查了相似三角形的判定：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．