Question

将长为1，宽为a的长方形纸片（

1

2

＜a＜1）如图那样折一下，剪下一个边长等于长方形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的长方形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后剩下的矩形为正方形，则操作终止．
（1）第一次操作后，剩下的矩形两边长分别为______；（用含a的代数式表示）
（2）若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则a=______；
（3）若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，试求a的值．

Answer 1

（1）∵长为1，宽为a的长方形纸片（

1

2

＜a＜1），
∴第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1-a；

（2）∵第二次操作时正方形的边长为1-a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1-a，2a-1，
此时矩形恰好是正方形，
∴1-a=2a-1，
解得a=

2

3

；

（3）第二次操作后，剩下矩形的两边长分别为：1-a与2a-1．
①当1-a＞2a-1时，
由题意得：（1-a）-（2a-1）=2a-1，
解得：a=

3

5

．
当a=

3

5

时，1-a＞2a-1．所以，a=

3

5

是所求的一个值；
②当1-a＜2a-1时，
由题意得：（2a-1）-（1-a）=1-a，
解得：a=

3

4

．
当a=

3

4

时，1-a＜2a-1．所以，a=

3

4

是所求的一个值；
所以，所求a的值为

3

5

或

3

4

；
故答案为（1）a与1-a；（2）

2

3

．