Question

11．已知等腰三角形ABC，AD为BC边上的高线，且有${tanB}=\frac{3}{4}$，AC上有一点E，并且满足AE：EC=2：3，则tan∠ADE的值是$\frac{8}{9}$或$\frac{2}{9}$或$\frac{7}{36}$．

Answer 1

分析 分三种情况进行讨论：①如果AB=AC，过E点作CD的平行线交AD于F．②如果BA=BC，过E点作CD的平行线交AD于F．③如果CA=CB，过E点作CD的平行线交AD于F，作CG⊥AB于G．利用锐角三角函数的定义、平行线分线段成比例定理可求出∠ADE的正切值．

解答 解：分三种情况：
①如果AB=AC，过E点作CD的平行线交AD于F．如图1．
∵AD为BC边上的高线，tan∠B=$\frac{3}{4}$，
∴EF⊥AD，tan∠C=$\frac{3}{4}$．
设AE=2a，
∵AE：CE=2：3，
∴CE=3a，AC=5a．
∵tan∠C=$\frac{3}{4}$，
∴sin∠C=$\frac{3}{5}$，cos∠C=$\frac{4}{5}$．
在直角△ADC中，
AD=ACsin∠C=5a×$\frac{3}{5}$=3a．
在直角△AFE中，
AF=AE×sin∠AEF=AE×sin∠C=2a×$\frac{3}{5}$=$\frac{6}{5}$a．
EF=AE×cos∠AEF=AE×cos∠C=2a×$\frac{4}{5}$=$\frac{8}{5}$a．
DF=AD-AF=3a-$\frac{6}{5}$a=$\frac{9}{5}$a．
在直角△DFE中，
tan∠ADE=$\frac{EF}{DF}$=$\frac{\frac{8}{5}a}{\frac{9}{5}a}$=$\frac{8}{9}$；
②如果BA=BC，过E点作CD的平行线交AD于F．如图2．
∵AD为BC边上的高线，tan∠B=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{3}{4}$，
∴可设AD=3k，则BD=4k，
由勾股定理得AB=5k，
∴BC=AB=5k，DC=AC-BD=k．
∵EF∥CD，AE：EC=2：3，
∴$\frac{AF}{AD}$=$\frac{EF}{CD}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{AF}{3k}$=$\frac{EF}{k}$=$\frac{2}{5}$，
∴AF=$\frac{6}{5}$k，EF=$\frac{2}{5}$k，
∴DF=AD-AF=3k-$\frac{6}{5}$k=$\frac{9}{5}$k．
在直角△DFE中，
tan∠ADE=$\frac{EF}{DF}$=$\frac{\frac{2}{5}k}{\frac{9}{5}k}$=$\frac{2}{9}$；
③如果CA=CB，过E点作CD的平行线交AD于F，作CG⊥AB于G．如图2．
∵在直角△BCG中，tan∠B=$\frac{CG}{BG}$=$\frac{3}{4}$，
∴可设CG=3b，则BG=4b，AB=2BG=8b，
由勾股定理得BC=5b，则AC=BC=5b，
∵AE：EC=2：3，
∴AE=2b，EC=3b．
∵在直角△ABD中，tan∠B=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{3}{4}$，AB=8b，
∴AD=$\frac{3}{5}$×8b=$\frac{24}{5}$b，BD=$\frac{4}{5}$×8b=$\frac{32}{5}$b，
∴CD=BD-BC=$\frac{32}{5}$b-5b=$\frac{7}{5}$b．
∵EF∥CD，
∴$\frac{AF}{AD}$=$\frac{EF}{CD}$=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{AF}{\frac{24}{5}b}$=$\frac{EF}{\frac{7}{5}b}$=$\frac{2}{5}$，
∴AF=$\frac{48}{25}$b，EF=$\frac{14}{25}$b，
∴DF=AD-AF=$\frac{24}{5}$b-$\frac{48}{25}$b=$\frac{72}{25}$b．
在直角△DFE中，
tan∠ADE=$\frac{EF}{DF}$=$\frac{\frac{14}{25}b}{\frac{72}{25}b}$=$\frac{7}{36}$．
故答案为$\frac{8}{9}$或$\frac{2}{9}$或$\frac{7}{36}$．

点评 本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，平行线分线段成比例定理，有一定难度．利用数形结合及分类讨论是解题的关键．