Question

3．在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x-3与y轴交于点A，点A与点B关于x轴对称，过点B作y轴的垂线l，直线l与直线y=2x-3交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如果抛物线y=nx²-4nx+5n（n＞0）与线段BC有唯一公共点，求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意分别求出点A、B、C的坐标；
（2）求得抛物线的对称轴，顶点的坐标；再分类讨论①当n＞3时；②当n=3时；③当0＜n＜3时，抛物线y=nx²-4nx+5n（n＞0）与线段BC有唯一公共点，求n的取值范围．

解答 解：（1）∵直线y=2x-3与y轴交于点A（0，-3），
∴点A关于x轴的对称点B（0，3），l为直线y=3，
∵直线y=2x-3与直线l交于点C，
∴点C坐标为（3，3），

（2）∵抛物线y=nx²-4nx+5n（n＞0），
∴y=nx²-4nx+4n+n=n（x-2）²+n（n＞0）
∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，n），
∵点B（0，3），点C（3，3），
①当n＞3时，抛物线的最小值为n＞3，与线段BC无公共点；
②当n=3时，抛物线的顶点为（2，3），在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点；
③当0＜n＜3时，抛物线最小值为n，与线段BC有两个公共点；
如果抛物线y=n（x-2）²+n经过点B，则3=5n，解得n=$\frac{3}{5}$，
由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（4，3），
点（4，3）不在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点B；
如果抛物线y=n（x-2）²+n经过点C，则3=2n，解得n=$\frac{3}{2}$，
由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（1，3），
点（1，3）在线段BC上，此时抛物线与线段BC有两个公共点；
综上所述，当$\frac{3}{5}$≤n＜$\frac{3}{2}$或n=3时，抛物线与线段BC有一个公共点．

点评 本题主要考查二次函数的性质，以及一次函数的性质，根据题意得出关于n的不等式组是解题的关键．