Question

8．在矩形ABCD中，AD=2AB，点E在AD上，连接BE、CE，若△BCE是以BC为腰的等腰三角形，则∠AEB的度数为30°或75°．

Answer 1

分析 分类讨论：当BE=BC时，如图1，利用sin∠AEB=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{1}{2}$可得到∠AEB=30°；当CE=CB，如图2，同样方法可得∠CED=30°，再利用AD∥BC得到∠BCE=30°，∠CBE=∠AEB，接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠CBE=75°，于是得到∠AEB=75°，综上所述，∠AEB的度数为30°或75°．

解答 解：当BE=BC时，如图1，

∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD=2AB，∠A=90°，
∴BE=2AB，
在Rt△ABE中，∵sin∠AEB=$\frac{AB}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠AEB=30°；
当CE=CB，如图2，

同样可得∠CED=30°，
∵AD∥BC，
∴∠BCE=30°，∠CBE=∠AEB，
∵CE=CB，
∴∠CBE=∠CEB，
∴∠CBE=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∴∠AEB=75°，
综上所述，∠AEB的度数为30°或75°．
故答案为30°或75°．

点评 本题考查了矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有；矩形的四个角都是直角．也考查了等腰三角形的性质．