Question

7．已知抛物线y=2x²+3x+m，且当-1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，则m的取值范围是-5＜m＜1或m=$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 当抛物线与x轴有两个交点时，只要满足x=-1和x=1时的函数值异号；当抛物线与x轴有一个交点时，只需要对应的一元二次方程的判别式等于0即可；从而可分别得到关于m的不等式或方程，可求得答案．

解答 解：∵y=2x²+3x+m，
∴当x=-1时，y=m-1，当x=1时，y=m+5，
令y=0可得2x²+3x+m=0，其判别式为△=9-8m．
当抛物线与x轴有两个交点时，
需满足$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{（m-1）（m+5）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{9-8m＞0}\\{（m-1）（m+5）}\end{array}\right.$，解得-5＜m＜1；
当抛物线与x轴只有一个交点时，
∵抛物线对称轴为x=-$\frac{3}{4}$，
∴其对称轴满足-1＜x＜1，
∴只需要△=0即可，即9-8m=0，解得m=$\frac{9}{8}$；
综上可知m的取值范围为-5＜m＜1或m=$\frac{9}{8}$，
故答案为：-5＜m＜1或m=$\frac{9}{8}$．

点评 本题主要考查抛物线与x轴的交点，掌握抛物线与x轴的交点与对应一元二次方程根的关系是解题的关键．