Question

【题目】如图，正方形PQMN在△ABC内，点P在AC上，点Q、M在AB上，N在△ABC内，连接AN并延长交BC于G，过G点作GD∥AB交AC于D，过D、G分别作DE ⊥AB，GF⊥AB，垂足分别为E、F．

（1）求证：DG=GF；

（2）若AB=10，S△ABC=40，试求四边形DEFG的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）

【解析】

（1）根据相似三角形的判定定理，证得△AMN∽△AFG，△APN∽△ADG，再根据相似三角形的对应边成比例可得，，根据正方形的性质判断PN＝NM，进而求证DG＝GF；

（2）如图，过点C作△ABC的高CI分别交DG、AB于点H、I，根据三角形的面积公式求出CI，由题（1）证得四边形DEFG是正方形，根据正方形的性质可得DE＝EF＝FG＝DG，DE⊥AB，GF⊥AB，再设正方形DEFG的边长为x，根据三角形的面积公式求出S△CDG、S△ADE、S△BFG，根据正方形的面积公式可得：S正方形DEFG，由S△ABC＝S△CDG＋S△ADE＋S△BFG＋S正方形DEFG可列关于x的方程，解方程即可求得x，进而可求四边形DEFG的面积．

（1）∵DE⊥AB，GF⊥AB，GD∥AB

∴DE⊥DG，GF⊥DG

∴∠DEF＝∠EFG＝∠DGF＝∠EDG＝90°

∴四边形DGFE是矩形，

∵四边形PQME是正方形，

∴∠NMQ＝90°，NM⊥AB，PN＝NM

∴NM∥GF

∴△AMN∽△AFG

∴

同理可得：

∴

∵PN＝NM

∴GF＝DG

（2）如图，过点C作△ABC的高CI分别交DG、AB于点H、I，

易知CI⊥AB，CH⊥DG

∵AB=10，S△ABC=40，

∴CI＝8，

由（1）知：四边形DEFG是矩形，且GF＝DG

∴四边形DEFG是正方形

∴DE＝EF＝GF＝DG＝HI，DE⊥AB，GF⊥AB，

设DE＝EF＝GF＝DG＝HI＝x，

则CH＝CI－HI＝8－x，AE＋BF＝AB－EF＝10－x，

∴S△CDG＝ DG·CH＝，

S△ADE＝ AE·DE＝，S△BFG＝ BF·GF＝，

S正方形DEFG＝，

∴S△ADE＋S△BFG＝＝，

∵S△CDG＋S△ADE＋S△BFG＋S正方形DEFG＝S△ABC＝40，

∴＋＋＝40，

整理得：，

解得：，

∴S四边形DEFG ＝＝