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如图,正方形AOCB的边长为4,点C在x轴上,点A在y轴上,E是AB的中点.
(1)直接写出点C、E的坐标;
(2)求直线EC的解析式;
(3)若点P是直线EC在第一象限的一个动点,当点P运动到什么位置时,图中存在与△AOP全等的三角形?请画出所有符合条件的图形,说明全等的理由,并求出点P的坐标.

解:(1)C(4,0)、E(2,4);

(2)设直线EC的解析式为:y=kx+b(k≠0).
∵点C(4,0)、E(2,4)在该函数图象上,
∴点C(4,0)、E(2,4)满足该函数的解析式y=kx+b(k≠0),

解得,
∴直线EC的解析式为:y=-2x+8;

(3)当P与点E、C重合时,或点P在∠AOC的角平分线与EC的交点时,图中存在与△AOP全等的三角形(如图所示);
证明:①当P与点E重合时.
在△AOE和△ECB中,
AO=BC(正方形的边长都相等),
AE=BE(E点是AB的中点),
∠OAE=∠CBE=90°(正方形的四个角都是直角),
∴△AOE≌△ECB,即△AOP≌△PCB(HL);
此时P(2,4);
②当P与点C重合时,不符合题意;
③当点P在∠AOC的角平分线与EC的交点时.
在△AOP与△COP中,
OA=OC(正方形的边长),
OP=PO(公共边),
∠AOP=∠COP,
∴△AOP≌△COP(SAS);
∴PA=PC(全等三角形的对应边相等);
∵点P在直线EC上,
∴设P(x,-2x+8),
∴x2+(-2x+4)2=(x-4)2+(-2x+8)2
解得,x=
∴-2x+8=
∴P().
分析:(1)根据正方形的边长来求点C的横坐标,由E点是AB的中点求其横坐标是正方形边长AB4的一半,纵坐标是正方形边长AO的长度4;
(2)根据函数图象上的点的坐标特征解答.设直线EC的解析式为:y=kx+b(k≠0),然后将C、E两点代入,由待定系数法求解析式即可;
(3)要使所求的三角形与△AOP全等,当P与点E、C重合时,或点P在∠AOC的角平分线与EC的交点时.
点评:本题主要考查了一次函数综合题.本题需利用待定系数法和全等三角形的性质来解决问题,另外本题也是一道综合性较强的题目,解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法.
练习册系列答案
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(2)求直线EC的解析式;
(3)若点P是直线EC在第一象限的一个动点,当点P运动到什么位置时,图中存在与△AOP全等的三角形?请画出所有符合条件的图形,说明全等的理由,并求出点P的坐标.

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(2012•淄博)如图,正方形AOCB的边长为4,反比例函数的图象过点E(3,4).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)反比例函数的图象与线段BC交于点D,直线y=-
12
x+b
过点D,与线段AB相交于点F,求点F的坐标;
(3)连接OF,OE,探究∠AOF与∠EOC的数量关系,并证明.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2013•西宁)如图,正方形AOCB在平面直角坐标系xoy中,点O为原点,点B在反比例函数y=
k
x
(x>0)图象上,△BOC的面积为8.
(1)求反比例函数y=
k
x
的关系式;
(2)若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位的速度运动,同时动点F从B开始沿BC向C以每秒2个单位的速度运动,当其中一个动点到达端点时,另一个动点随之停止运动.若运动时间用t表示,△BEF的面积用S表示,求出S关于t的函数关系式,并求出当运动时间t取何值时,△BEF的面积最大?
(3)当运动时间为
4
3
秒时,在坐标轴上是否存在点P,使△PEF的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源:2013年初中毕业升学考试(青海西宁卷)数学(解析版) 题型:解答题

如图,正方形AOCB在平面直角坐标系中,点O为原点,点B在反比例函数)图象上,△BOC的面积为

(1)求反比例函数的关系式;

(2)若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位的速度运动,同时动点F 从B开始沿BC向C以每秒个单位的速度运动,当其中一个动点到达端点时,另一个动点随之停止运动.若运动时间用t表示,△BEF的面积用表示,求出S关于t的函数关系式,并求出当运动时间t取何值时,△BEF的面积最大?

(3)当运动时间为秒时,在坐标轴上是否存在点P,使△PEF的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

 

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