Question

14．如图，已知向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OP}$．
（1）求做：向量$\overrightarrow{OP}$分别在$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$方向上的分向量$\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{OE}$：（不要求写作法，但要在图中明确标出向量$\overrightarrow{OD}$和$\overrightarrow{OE}$）．
（2）如果点A是线段OD的中点，联结AE、交线段OP于点Q，设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{p}$，那么试用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{p}$表示向量$\overrightarrow{PE}$，$\overrightarrow{QE}$（请直接写出结论）

Answer 1

分析 （1）根据向量加法的平行四边形法则，分别过P作OA、OB的平行线，交OA于D，交OB于E；
（2）易得△OAQ∽△PEQ，根据相似三角形对应边成比例得出$\frac{AQ}{EQ}$=$\frac{OQ}{PQ}$=$\frac{OA}{PE}$=$\frac{1}{2}$，那么$\overrightarrow{PE}$=2$\overrightarrow{AO}$=-2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{p}$．再求出$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{DP}$=$\overrightarrow{p}$-2$\overrightarrow{a}$，然后根据$\overrightarrow{QE}$=$\overrightarrow{OE}$-$\overrightarrow{OQ}$即可求解．

解答 解：（1）如图，分别过P作OA、OB的平行线，交OA于D，交OB于E，
则向量$\overrightarrow{OP}$分别在$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$方向上的分向量是$\overrightarrow{OD}$，$\overrightarrow{OE}$；


（2）如图，∵四边形ODPE是平行四边形，
∴PE∥DO，PE=DO，
∴△OAQ∽△PEQ，
∴$\frac{AQ}{EQ}$=$\frac{OQ}{PQ}$=$\frac{OA}{PE}$，
∵点A是线段OD的中点，
∴OA=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1}{2}$PE，
∴$\frac{AQ}{EQ}$=$\frac{OQ}{PQ}$=$\frac{OA}{PE}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{PE}$=2$\overrightarrow{AO}$=-2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{p}$．
∵$\overrightarrow{DP}$=$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{p}$-2$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{DP}$=$\overrightarrow{p}$-2$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{QE}$=$\overrightarrow{OE}$-$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{p}$-2$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{p}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{p}$-2$\overrightarrow{a}$．

点评 本题考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握向量加法的平行四边形法则正确作出图形是解题的关键．