Question

如图，若正方形ABCD的四个顶点恰好分别在四条平行线l₁、l₂、l₃、l₄上，设这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h₁、h₂、h₃(h₁＞0，h₂＞0，h₃＞0)．

（1）求证：h₁＝h₃；

（2）现在平面直角坐标系内有四条直线l₁、l₂、l₃、x轴，且l₁∥l₂∥l₃∥x轴，若相邻两直线间的距离为1，2，1，点A（4，4）在l₁，能否在l₂、l₃、x轴上各找一点B、C、D，使以这四个点为顶点的四边形为正方形，若能，请直接写出B、C、D的坐标；若不能，请说明理由。

 

Answer 1

⑴证明过程见解析，⑵能，B（1,3），C（2,0），D（5,1）或B’（7,3），C’（6,0），D’（3,1）

解析:（1）过A点作AF⊥l₃分别交l₂、l₃于点E、F，过C点作CG⊥l₃交l₃于点G，

∵l₂∥l₃，∴∠2 =∠3，

∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，∴∠1=∠4，-------------------1分

在ΔABE和ΔCDG中，

-------------3分

∴△ABE≌△CDG，∴AE=CG，即=.-------------4分

        

 

（2）可以在l₁、l₂、l₃、l₄上找点B，C，D，使四边形ABCD为正方形.

具体画法：

1.在l₁上截取AE=1+2=3，过点E作l₁的垂线，交l₂于点B，交x轴于点F；

2.在x轴上截取FC=1

3.在l₁上截取AG=1，过G作l₁的垂线交l₃于点D，

4连接AB，BC，CD，DA则四边形ABCD为正方形.

其中B（1,3），C（2,0），D（5,1）或B’（7,3），C’（6,0），D’（3,1）------7分

（1）过A点作AF⊥l₃分别交l₂、l₃于点E、F，过C点作CG⊥l₃交l₃于点G，求得△ABE≌△CDG，可证明，（2）可以在l₁、l₂、l₃、l₄上找点B，C，D，使四边形ABCD为正方形