Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝kx﹣2k（k＜0）的与y轴交于点A，与x轴交于点B．

（1）如图1，求点B的坐标；

（2）如图2，第一象限内的点C在经过B点的直线y＝-x+b上，CD⊥y轴于点D，连接BD，若S△ABD＝2k+2，求C点的坐标（用含k的式子表示）；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接OC，交直线AB于点E，若3∠ABD﹣∠BCO＝45°，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）B(2，0)；（2）C(2﹣2k，2)；（3）E(，)

【解析】

（1）令y＝kx﹣2k＝0，解方程即求得点B坐标．

（2）求点A坐标（用含k的式子），把点B坐标代入直线y＝-x+b求得b＝．由求得点D纵坐标为2，所以点C纵坐标也为2，把y＝2代入直线y＝-x+，即求得点C横坐标．

（3）如图，过点C作CH⊥x轴于点H，在CD上取一点J，使得AJ＝CJ，连接AJ，AC．首先证明∠AJD＝∠COD，根据tan∠AJD＝tan∠COD，构建方程求出k，再求出直线OC，AB的解析式，构建方程组确定交点E的坐标即可．

解：（1）∵直线y＝kx﹣2k中，kx﹣2k＝0时，解得：x＝2

∴B（2，0）

（2）∵x＝0时，y＝kx﹣2k＝﹣2k

∴A（0，﹣2k）

∵点B（2，0）在直线y＝-x+b上

∴﹣+b＝0

∴b＝，直线解析式为y＝-x+

∵

∴

∵CD⊥y轴于点D

∴

∵点C在直线y＝-x+上

∴-x+＝2，解得x＝2﹣2k

∴C（2﹣2k，2）

（3）如图，过点C作CH⊥x轴于点H，在CD上取一点J，使得AJ＝CJ，连接AJ，AC．

由（2）可知：CH＝OB＝2，∠BOA＝∠CHB＝90°，BH＝OA＝﹣2k，

∴△CHB≌△BOA（SAS），

∴BC＝BA，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ACB＝45°，

∵∠ADC＝∠ABC＝90°，

∴∠ADC+∠ABC＝180°，

∴A，D，C，B四点共圆，

∴∠ABD＝∠ACD，

∵3∠ABD﹣∠BCO＝45°，∠BCO＝45°﹣∠ACO，

∴3∠ACD﹣（45°﹣∠ACO）＝45°，

∴3∠ACD+∠AOC＝90°，

∵∠DOC+∠ACD+∠ACO＝90°，

∴∠DOC＝2∠ACD，

∵JA＝JC，

∴∠JCA＝∠JAC，

∵∠AJD＝∠JAC+∠JCA，

∴∠AJD＝2∠DCA＝∠COD，

设AJ＝JC＝x，在Rt△ADJ中，∵AJ2＝AD2+DJ2，

∴，

解得，

∴，

∵∠AJD＝∠COD，

∴tan∠AJD＝tan∠COD，

∴ ，

解得，

∴A（0，），C（，2），

∴直线OC的解析式为y＝x，

直线AB的解析式为，

由 ，解得 ，

∴E（，）．