Question

9．如图，已知△OAA₁是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△OAA₁的斜边AA₁为直角边，画第二个等腰Rt△AA₁A₂，再以Rt△AA₁A₂为直角边，画第三个等腰Rt△AA₂A₃，…，以此类推，则点A₂₀₁₆的坐标是[-2¹⁰⁰⁸+1，（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁵ ]．．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的$\sqrt{2}$倍，可以发现n个三角形，求出每个直角三角形的斜边长，从中得出规律，即可求出答案．

解答 解：等腰直角三角形一个直角边为1，
等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的$\sqrt{2}$倍，
第二个三角形的斜边长：1×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，
第三个三角形直角边是第一个三角形的斜边长的$\sqrt{2}$倍，所以它的斜边长：1×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=（$\sqrt{2}$）³，
…
第n个三角形，直角边是第（n-1）个三角形的斜边长的$\sqrt{2}$倍，其斜边长为：（ $\sqrt{2}$）ⁿ，
则第2016个等腰直角三角形的斜边长是：（ $\sqrt{2}$）²⁰¹⁶，
∵A₄在x轴的正半轴上，A₆在直线AA₂上，A₈在x轴的负半轴上，A₁₀在y轴的正半轴上，
∴2016÷9=224，
即A₂₀₁₆在直线AA₁上，在第二象限，
∴点A₂₀₁₆的坐标是[-2¹⁰⁰⁸+1，（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁵]．
故答案为[-2¹⁰⁰⁸+1，（$\sqrt{2}$）²⁰¹⁵]．

点评 此题主要考查学生对等腰直角三角形的理解和掌握，解答此题的关键是通过认真分析，根据等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的$\sqrt{2}$倍，从中发现规律．