Question

19．如图1，抛物线经过A（1，0），B（7，0），D（0，$\frac{7}{4}$）三点，以AB为边在x轴上方作等边三角形ABC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线x轴上方是否存在点M，使S_△ABM=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$S_△ABC？若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．
①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系，请说明理由，并求出∠APB的度数；
②若AF=BE，当点E由A运动到C时，试求点P经过的路径长．

Answer 1

分析 （1）先设出抛物线的解析式，然后将已知点的坐标代入求解即可；
（2）过点C作CK⊥x轴，垂足为K．先求得三角形ABC的面积，从而得到△ABM的面积，依据三角形的面积公式可求得点M的纵坐标为4，由点M在抛物线可知可知y=4，从而可求得对应的x的值，于是得到点M的坐标；
（3）①先证明依据SAS△BEC≌△AFB，由全等三角形的性质可得到AF=BE，接下来证明∠FAB+∠ABP=∠ABC，最后依据三角形的内角和定理可求得∠APB的度数；②如图3所示：设$\widehat{AB}$所在圆的圆心为M，点H在圆M上，连接AM、BM、AH、BH，过点M作MG⊥AB，垂足为G．依据圆的内角四边形的性质和圆周角定理可求得∠AMB的长，接下来，依据等腰三角形三线合一的性质可得到AG=3，∠AMG=60°，然后依据特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后依据扇形的弧长公式求解即可；如图4所示：当AE=BF时．依据SAS可证明△AEB≌△BAF，从而得到∠PAB=∠PBA，故此可知点P在AB的垂直平分线上，最后依据特殊锐角三角函数求得CN的长即可．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+$\frac{7}{4}$．
∵将点A、B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{49a+7b+\frac{7}{4}=0}\\{a+b+\frac{7}{4}=0}\end{array}\right.$，解得：a=$\frac{1}{4}$，b=-2，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-2x+$\frac{7}{4}$．
（2）存在点M使得S_△AMB=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$S_△ABC．
如图1所示：过点C作CK⊥x轴，垂足为K．

∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=6，∠ACB=60°．
∵CK⊥AB，
∴KA=BK=3，∠ACK=60°．
∴CK=3$\sqrt{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CK=$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$．
∴S_△ABM=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$×$9\sqrt{3}$=12．
设M（x，$\frac{1}{4}$x²-2x+$\frac{7}{4}$）．
∴$\frac{1}{2}$AB•|y_M|=12，即$\frac{1}{2}$×6×（$\frac{1}{4}$x²-2x+$\frac{7}{4}$）=12．
解得x₁=9，x₂=-1．
∴M₁（9，4），M₂（-1，4）．
（3）①AF=BE，∠APB=120°．
理由：如图2所示；

∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AB，∠C=∠ABF．
∵在△BEC和△AFB中$\left\{\begin{array}{l}{BC=AB}\\{∠C=∠ABF}\\{CE=BF}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△AFB．
∴AF=BE，∠CBE=∠BAF．
∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°．
∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=180°-60°=120°．
②如图3所示：当CE=FB时．

∵由①可知：∠APB=120°，
∴点P的运动轨迹是一条弧．
设$\widehat{AB}$所在圆的圆心为M，点H在圆M上，连接AM、BM、AH、BH，过点M作MG⊥AB，垂足为G．
∵∠APB=120°，
∴∠AHB=60°．
∴∠AMB=120°．
∵AM=MB，MG⊥AB，
∴AG=BG=3，∠AMG=∠BMG=60°．
∴$\frac{AG}{AM}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{3}{AM}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴AM=2$\sqrt{3}$．
∴点P运动的路径=$\frac{120×π×2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{4\sqrt{3}π}{3}$．
如图4所示：当AE=BF时．

∵在△ABE和△BAF中$\left\{\begin{array}{l}{AE=FB}\\{∠EAB=∠FBA}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BAF．
∴AF=EB，∠FAB=∠EBA．
∴AP=BP．
∴点P在AB的垂直平分线上．
∴点P运动的路线=NC=3$\sqrt{3}$．
∴点P经过的路径长为$\frac{4\sqrt{3}π}{3}$或3$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法则求二次函数的解析式、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、特殊锐角三角函数值，圆内接四边形的性质、圆周角定理、扇形的弧长公式、线段垂直平分线的判定，根据题意确定出点P运动的轨迹是解题的关键．