Question

12．已知在等腰△ABC中，顶角∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，则下列说法中错误的是（　　）

• A． △ABC∽△BDC
• B． 点D是线段AC的黄金分割点
• C． $\frac{AD}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• D． $\frac{AD}{AC}$=$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根据∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC求出∠ABD、∠DBC、∠C的度数，根据相似三角形的判定和性质进行证明即可．

解答 解：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
又BD平分∠ABC，
∴∠DBC=36°，
∴∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
A正确；
∵△ABC∽△BDC，
∴$\frac{CD}{BC}$=$\frac{BC}{AC}$，
BC²=CD•AC，
∵∠A=∠ABD，
∴DA=DB，
∵∠C=∠BDC，
∴BD=BC，
∴AD=BC，
∴AD²=CD•AC，即点D是线段AC的黄金分割点，
B正确；
∵点D是线段AC的黄金分割点，
∴AD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$AC，
C正确；
D不正确；
故选：D．

点评 本题考查的是黄金分割的知识，掌握黄金三角形的性质和相似三角形的判定和性质是解题的关键．