Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD．过E作EF∥DC交BC的延长线于F．

（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；

（2）若四边形CDEF的周长是18cm，AC的长为6cm，求线段AB的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AB＝10cm．

【解析】

（1）由三角形中位线定理推知ED∥FC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE为平行四边形；
（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC，即可得出四边形DCFE的周长=AB+BC，故BC=18-AB，然后根据勾股定理即可求得．

（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，

∴ED是Rt△ABC的中位线，

∴ED∥FC，

又 EF∥DC，

∴四边形CDEF是平行四边形；

（2）∵四边形CDEF是平行四边形；

∴DC＝EF，DE=CF

∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，

∴AB＝2DC，

∵D、E分别是AB、AC的中点，

∴BC＝2DE，

∴四边形DCFE的周长＝AB+BC，

∵四边形DCFE的周长为18cm，AC的长6cm，

∴BC＝18﹣AB，

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

∴AB2＝BC2+AC2，即AB2＝（18﹣AB）2+62，

解得：AB＝10cm，