Question

【题目】在矩形中，，，将沿着对角线对折得到.

（1）如图，交于点，于点，求的长.

（2）如图，再将沿着对角线对折得到，顺次连接、、、，求：四边形的面积.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面积是.

【解析】

（1）由矩形的性质可得AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝90°，AD∥BC，由勾股定理可求AC＝5，由折叠的性质和平行线的性质可得AE＝CE，由勾股定理可求AE的长，由三角形面积公式可求EF的长；

（2）由折叠的性质可得AB＝AM＝3，CD＝CN＝3，∠BAC＝∠CAM，∠ACD＝∠ACN，AC⊥DN，DF＝FN，由“SAS”可证△BAM≌△DCN，△AMD≌△CNB可得

MD＝BN，BM＝DN，可得四边形MDNB是平行四边形，通过证明四边形MDNB是矩形，可得∠BND＝90°，由三角形面积公式可求DF的长，由勾股定理可求BN的长，即可求四边形BMDN的面积．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形

∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠B＝∠D＝90°，AD∥BC

∴AC＝＝5，

∵将Rt△ABC沿着对角线AC对折得到△AMC．

∴∠BCA＝∠ACE，

∵AD∥BC

∴∠DAC＝∠BCA

∴∠EAC＝∠ECA

∴AE＝EC

∵EC2＝ED2＋CD2，

∴AE2＝（4AE）2＋9，

∴AE＝ ，

∵S△AEC＝×AE×DC＝×AC×EF，

∴×3＝5×EF，

∴EF＝；

（2）如图所示：

∵将Rt△ABC沿着对角线AC对折得到△AMC，将Rt△ADC沿着对角线AC对折得到△ANC，

∴AB＝AM＝3，CD＝CN＝3，∠BAC＝∠CAM，∠ACD＝∠ACN，AC⊥DN，DF＝FN，

∵AB∥CD

∴∠BAC＝∠ACD

∴∠BAC＝∠ACD＝∠CAM＝∠ACN

∴∠BAM＝∠DCN，且BA＝AM＝CD＝CN

∴△BAM≌△DCN（SAS）

∴BM＝DN

∵∠BAM＝∠DCN

∴∠BAM90°＝∠DCN90°

∴∠MAD＝∠BCN，且AD＝BC，AM＝CN

∴△AMD≌△CNB（SAS）

∴MD＝BN，且BM＝DN

∴四边形MDNB是平行四边形

连接BD，

由1）可知：∠EAC＝∠ECA，

∵∠AMC＝∠ADC＝90°

∴点A，点C，点D，点M四点共圆，

∴∠ADM＝∠ACM，

∴∠ADM＝∠CAD

∴AC∥MD，且AC⊥DN

∴MD⊥DN，

∴四边形BNDM是矩形

∴∠BND＝90°

∵S△ADC＝×AD×CD＝×AC×DF

∴DF＝

∴DN＝

∵四边形ABCD是矩形

∴AC＝BD＝5，

∴BN＝

∴四边形BMDN的面积＝BN×DN＝×＝.