Question

19．已知，矩形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点B的坐标为（8，10），抛物线y=ax²+bx+c经过点O，点C，与AB交于点D，将矩形OABC沿CD折叠，点B的对应点E刚好落在OA上．
（1）求抛物线y=ax²+bx+c的表达式；
（2）若点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，是否存在这样的点P、Q，使得以点P、Q、C、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据翻折的性质，可得DE，CE的长，根据勾股定理，可得AD的长，根据待定系数法，可得答案；
（2）①根据平行四边形的对角线互相平分，可得x_Q=x_P，根据自变量与函数式的对应关系，可得答案；
②根据平行四边形对边的横坐标的距离相等可得|x_Q-x_P|，根据自变量与函数式的对应关系，可得答案．

解答 解：（1）由矩形OCBA，B点坐标为（8，10），
得C（8，0），AB=8，AC=BC=10．
设AD的长为x，BD=8-x，
由翻折的性质，得
DE=DB=8-x，CE=BC=10，
由勾股定理，得OE=$\sqrt{C{E}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，AE=AO-OE=10-6=4，
在Rt△ADE中，由勾股定理，得
AD²+AE²=DE²，即4²+x²=（8-x）²，
解得x=3，即D（3，10），C（8，0），
将D、C、O点坐标代入函数解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{2}a+3b+c=0}\\{{8}^{2}+8b+c=0}\\{c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{16}{3}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{16}{3}$x；

（2）C点坐标为（8，0），E（0，6）
①当CE为平行四边形的对角线时，对角线的交点坐标为（4，3），
∵Q在对称轴上，
∴点P的横坐标等于Q的横坐标4，
当x=4时，y=$\frac{32}{3}$，
点P为抛物线的顶点∴P（4，$\frac{32}{3}$）；
②当CE为平行四边形的边时，C、E两点之间的水平距离等于P、Q两点间的横坐标，
对称轴是x=4，C、E两点之间的水平距离等于8，
P在Q的左边时，4-8=-4，当x=-4时，y=-32，即P（-4，-32）；
P在Q的右边时，4+8=12，当x=12时，y=-32，即P（12，-32）；
综上所述：存在这样的点P、Q，使得以点P、Q、C、E为顶点的四边形为平行四边形，点P的坐标（4，$\frac{32}{3}$），（-4，-32），（12，-32）．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用翻折的性质得出DE，CE的长，又利用了勾股定理，待定系数法；解（2）的关键是利用平行四边形的性质x_Q=x_P，|x_Q-x_P|；又利用了自变量与函数值的对应关系．