一节课上，数学老师在黑板上给出了这样一道题目：分析 （1）如图1，建立如图所示的平面直角坐标系，证明四边形DFCE是矩形，得DE∥AC，DF∥BC，计算DE=DF=3，得到点D（0，3），B（3，6），E（3，3），P（0，2），求直线ED：y=x+3和直线PE：y=$\frac{1}{2}$x+2，列方程组求点G（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），以DF为直径的圆Q坐标为（$\frac{3}{2}$，0），则半径为$\frac{3}{2}$，QG=$\frac{3}{2}$，得出结论；
（2）解法一：求直线BF和直线GE的交点K的坐标为（$\frac{6}{5}$，$\frac{12}{5}$），计算交点K到圆心的距离为$\frac{3}{2}$，即点K就是点M，可得点M在线段BF上；
解法二：作辅助线，构建直角三角形，根据等角的三角函数得：tan∠EGN=tan∠DFM=$\frac{1}{2}$，可得M的坐标，代入直线BF：y=2x，可得点M在线段BF上．
解答 证明：（1）如图1，以点F为原点，AC所在的直线为x轴，DF所在直线为y轴建立直角坐标系，
∵DF⊥AC，DE⊥BC，∠ACB=90°，
∴∠DFC=∠ACB=∠DEC=90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∴DE∥AC，DF∥BC，
∴D是AB的中点，
∴DE=DF=$\frac{1}{2}$×6=3，
由题意得：点D（0，3），B（3，6），E（3，3），
∵PD=1，
∴PF=2，
∴P（0，2），
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
把B（3，6）和D（0，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=6}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BD：y=x+3，
同理得：直线PE：y=$\frac{1}{2}$x+2，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
可得点G（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
以DF为直径的圆Q坐标为（$\frac{3}{2}$，0），
半径为$\frac{3}{2}$，QG=$\frac{3}{2}$，
所以点G在以DF为直径的圆上；
（2）解法一：如图2，∵B（3，6），
易得直线BF：y=2x，
易得直线GE：y=$\frac{1}{3}$x+2，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{1}{3}x+2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{6}{5}}\\{y=\frac{12}{5}}\end{array}\right.$，
直线BF与直线GE的交点K的坐标为（$\frac{6}{5}$，$\frac{12}{5}$），
交点K到圆心的距离为：$\sqrt{（\frac{6}{5}-0）^{2}+（\frac{12}{5}-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
即点K在圆上，又因为点K在直线GE上，所以点K就是点M，
可得点M在线段BF上，
解法二：如图3，过E作EN垂直AB，垂足为N，
可得：tan∠EGN=$\frac{1}{2}$，
由同弧所对的圆周角相等可得：tan∠DFM=$\frac{1}{2}$，
可得：M（$\frac{6}{5}$，$\frac{12}{5}$），
直线BF：y=2x，可得点M在线段BF上．
点评 本题是圆和三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的性质、圆周角定理、圆的定义、矩形的性质和判定、三角形中位线定理等知识，本题利用了构建平面直角坐标系这一特殊的辅助线作法，结合坐标与图形特点，三角形和四边形与圆的性质解决问题，并与直线的解析式相联系；本题思路特殊，要仔细领悟．
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