Question

（2012•十堰）抛物线y=-x²+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由y=-x²+bx+c经过点A、B、C，A（-1，0），C（0，3），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）首先令-x²+2x+3=0，求得点B的坐标，然后设直线BC的解析式为y=kx+b′，由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（a，3-a），即可得D（a，-a²+2a+3），即可求得PD的长，由S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB，即可得S_△BDC=-

3

2

（a-

3

2

）²+

27

8

，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）首先过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，然后分别从点M在EF左侧与M在EF右侧时去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）由题意得：

-1-b+c=0 c=3

，
解得：

b=2 c=3

，
∴抛物线解析式为y=-x²+2x+3；

（2）令-x²+2x+3=0，
∴x₁=-1，x₂=3，
即B（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b′，
∴

b′=3 3k+b′=0

，
解得：

k=-1 b′=3

，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
设P（a，3-a），则D（a，-a²+2a+3），
∴PD=（-a²+2a+3）-（3-a）=-a²+3a，
∴S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB
=

1

2

PD•a+

1

2

PD•（3-a）
=

1

2

PD•3
=

3

2

（-a²+3a）
=-

3

2

（a-

3

2

）²+

27

8

，
∴当a=

3

2

时，△BDC的面积最大，此时P（

3

2

，

3

2

）；

（3）由（1），y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴OF=1，EF=4，OC=3，
过C作CH⊥EF于H点，则CH=EH=1，
当M在EF左侧时，
∵∠MNC=90°，
则△MNF∽△NCH，
∴

MF

NH

=

FN

HC

，
设FN=n，则NH=3-n，
∴

1-m

3-n

=

n

1

，
即n²-3n-m+1=0，
关于n的方程有解，△=（-3）²-4（-m+1）≥0，
得m≥-

5

4

，
当M在EF右侧时，Rt△CHE中，CH=EH=1，∠CEH=45°，即∠CEF=45°，
作EM⊥CE交x轴于点M，则∠FEM=45°，
∵FM=EF=4，
∴OM=5，
即N为点E时，OM=5，
∴m≤5，
综上，m的变化范围为：-

5

4

≤m≤5．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．