Question

14．如图①，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．
（1）求证：DM=DA；
（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；
（3）在图②中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．

Answer 1

分析 （1）证明∠A=∠DMA，用等角对等边即可证明结论；
（2）由D、E分别是AB、BC的中点，可知DE∥AC，于是∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，又∠A=∠AFE，∠AFE=∠C+∠FEC，根据等式性质得∠FEC=∠GDE，根据有两对对应角相等的两三角形相似可证；
（3）通过证明△BDG∽△BED和△EFH∽△ECF，可得BG•BE=EH•EC，又BE=EC，所以EH=BG=1．

解答 （1）证明：如图1所示，
∵DM∥EF，
∴∠AMD=∠AFE，
∵∠AFE=∠A，
∴∠AMD=∠A，
∴DM=DA；
（2）证明：如图2所示，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，
∵∠AFE=∠A，
∴∠BDE=∠AFE，
∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，
∵∠BDG=∠C，
∴∠GDE=∠FEC，
∴△DEG∽△ECF；
（3）解：如图3所示，
∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，
∴△BDG∽△BED，
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{BG}{BD}$，
∴BD²=BG•BE，
∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-∠AFE-∠CFH=∠EFH，
又∵∠FEH=∠CEF，
∴△EFH∽△ECF，
∴$\frac{EH}{EF}=\frac{EF}{EC}$，
∴EF²=EH•EC，
∵DE∥AC，DM∥EF，
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴EF=DM=DA=BD，
∴BG•BE=EH•EC，
∵BE=EC，
∴EH=BG=1．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质以及三角形相似的判定与性质，第三小题是难点，运用两对三角形相似得到比例中项问题，发现等线段是解决问题的关键．