Question

【题目】如图①，在正方形ABCD中，E是线段AB上一动点，点F在AD的延长线上运动，且DF=BE．

（1）求证：CE=CF．
（2）当点E在AB上运动时，在AD上取一点G，使∠GCE=45°，试判断BE、EG、GD三条线段的数量关系，并加以证明．
（3）若连接图①中的BD，分别交CE、CG于点M、N，得图②，试根据（2）中的结论说明以线段BM、MN、DN为三边构成的是一个什么形状的三角形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：在正方形ABCD中，

∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，

∴△CBE≌△CDF，

∴CE=CF

（2）

解：EG=BE+GD

理由：由（1）知△CBE≌△CDF，

∴∠BCE=∠DCF，

∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD

即∠ECF=∠BCD=90°，

又∠GCE=45°，

∴∠GCF=∠GCE=45°，

∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，

∴△ECG≌△FCG，

∴GE=GF

∴GE=GF=DF+GD=BE+GD

（3）

解：如图，

在GE上取一点H，使GH=GD，

∵△GCE≌△GCF，

∴∠DGN=∠HGN，∠F=∠GEC，

∵GN=GN，

∴△DGN≌△HGN，

∴DN=HN，

∴∠GDN=∠GHN=45°，

∵GE=GF，GD=GH，BE=DF，

∴DF=BE=EH，

∵∠F=∠GEC=∠BEC，∠EM=EM，

∴△BEM≌△HEM，

∴BM=HM，∠EBM=∠EHM=45°，

∴∠NHM=90°

∴线段BM、MN、DN为三边构成的是一个直角三角形

【解析】（1）由条件直接证明三角形全等就可以得出CE=CF．（2）由条件和（1）的结论可以证明三角形ECG全等三角形FCG，可以得出EG=FG，可以得出GE=BE+GD．（3）先判断出△DGN≌△HGN得到结论，再判断出△BEM≌△HEM，最后简单计算即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解全等三角形的性质的相关知识，掌握全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等，以及对正方形的性质的理解，了解正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．