Question

6．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积．

Answer 1

分析 （1）根据EH∥BC即可证明．
（2）如图设AD与EH交于点M，首先证明四边形EFDM是矩形，设正方形边长为x，再利用△AEH∽△ABC，得$\frac{EH}{BC}$=$\frac{AM}{AD}$，列出方程即可解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，
∴△AEH∽△ABC．
（2）解：如图设AD与EH交于点M．
∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，
∴四边形EFDM是矩形，
∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为x，
∵△AEH∽△ABC，
∴$\frac{EH}{BC}$=$\frac{AM}{AD}$，
∴$\frac{x}{40}$=$\frac{30-x}{30}$，
∴x=$\frac{120}{7}$，
∴正方形EFGH的边长为$\frac{120}{7}$cm，面积为$\frac{14400}{49}$cm²．

点评 本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的相似比对于高的比，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．