Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．

Answer 1

分析：由题意易得DE=BE，再证四边形BCDE是平行四边形，即证四边形BCDE是菱形．

解答：证明：∵AD⊥BD，
∴△ABD是Rt△
∵E是AB的中点，
∴BE=

1

2

AB，DE=

1

2

AB （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴BE=DE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠EBD=∠CDB，
∴∠EDB=∠EBD=∠CDB=∠CBD，
∵BD=BD，
∴△EBD≌△CBD （ASA ），
∴BE=BC，
∴CB=CD=BE=DE，
∴菱形BCDE．（四边相等的四边形是菱形）

点评：此题主要考查菱形的判定，综合利用了直角三角形的性质和平行线的性质．