Question

11．在△ABC中，BA=BC，M是AC的中点，∠BAC=α，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ． 在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，若∠CDB=∠BDA，∠BAC=∠BCA，∠PAM=∠PCM，∠PQC=∠PCQ=∠PAQ，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明．

Answer 1

分析 连接PC，AD，首先利用已知得出△APD≌△CPD，得出∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，进而得出∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°，即可求出．

解答 解：如图，

连接PC，AD，
∵AB=BC，M是AC的中点，
∴BM⊥AC，
即BD为AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AP=PC，PD=PD，
在△APD与△CPD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{PD=PD}\\{PA=PC}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△CPD（SSS），
∴∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，
又∵PQ=PA，
∴PQ=PC，∠ADC=2∠1，∠4=∠PCQ=∠PAD，
∴∠PAD+∠PQD=∠4+∠PQD=180°，
∴∠APQ+∠ADC=360°-（∠PAD+∠PQD）=180°，
∴∠ADC=180°-∠APQ=180°-2α，
∴2∠CDB=180°-2α，
∴∠CDB=90°-α．

点评 此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，得出∠APQ+∠ADC=360°-（∠PAD+∠PQD）=180°是解题关键．