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17.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,以B为圆心、BC为半径画弧交AD于点E,若点F是弧EC的中点,连接FB,则sin∠FBC的值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$.

分析 连接CE交BF于H,连接BE,根据矩形的性质求出AB=CD=3,AD=BC=5=BE,∠A=∠D=90°,根据勾股定理求出AE=4,求出DE=1,根据勾股定理求出CE,求出CH,解直角三角形求出即可.

解答 解:连接CE交BF于H,连接BE,

∵四边形ABCD是矩形,AB=3,BC=5,
∴AB=CD=3,AD=BC=5=BE,∠A=∠D=90°,
由勾股定理得:AE=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4,DE=5-4=1,
由勾股定理得:CE=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$,
由垂径定理得:CH=EH=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{\sqrt{10}}{2}$,
所以sin∠FBC=$\frac{CH}{BC}$=$\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{5}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$.
故答案为:$\frac{\sqrt{10}}{10}$.

点评 本题考查了矩形的性质,勾股定理,解直角三角形,垂径定理的应用,能正确作出辅助线并构造出直角三角形是解此题的关键.

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