Question

如图①，已知△ABC中，AB=AC，点P是BC上的一点，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，CG⊥AB于点G，则CG=PM+PN．
（1）如图②，若点P在BC的延长线上，则PM、PN、CG三者是否还有上述关系，若有，请说明理由，若没有，猜想三者之间又有怎样的关系，并证明你的猜想；
（2）如图③，AC是正方形ABCD的对角线，AE=AB，点P是BE上任一点，PN⊥AB于点N，PM⊥AC于点M，猜想PM、PN、AC有什么关系；（直接写出结论）
（3）观察图①、②、③的特性，请你根据这一特性构造一个图形，使它仍然具有PM、PN、CG这样的线段，并满足图①或图②的结论，写出相关题设的条件和结论
．

Answer 1

【答案】分析：（1）猜想CG=PM-PN．过C点作CE⊥PM于E，则根据已知条件容易证明四边形CGME是矩形，然后根据矩形的性质可以得到
∠ECP=∠PCN，而∠PNC=∠PEC=90°，PC公共，可以证明△PNC≌△PEC，再根据全等三角形的性质就可以证明猜想的结论；
（2）PM+PN=AC．连接BD，交AC于O，过点P作PF⊥BD于F，由于AE=AB，根据（1）可以得到PM+PN=BO=BD=AC；
（3）点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高．如图③，④都有BG=PM+PN．如图⑤CG=PM-PN．证明过程也是利用（1）的结论得到CG=PM-PN．
解答：
（1）猜想CG=PM-PN
证明：过C点作CE⊥PM于E
∵PN⊥AB，CG⊥AB
∴四边形CGME是矩形
∴ME=CG，CE∥AB
∴∠B=∠ECP
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB=∠PCN
∴∠ECP=∠PCN
∵∠PNC=∠PEC=90°，PC=PC
∴△PNC≌△PEC
∴PN=PE
∴CG=ME=PM-PE=PM-PN．（4分）

（2）PM+PN=AC
证明：连接BD，交AC于O，过点P作PF⊥BD于F
∵四边形ABCD是正方形
∴∠COB=90°，OB=OC=AC
∵PM⊥AC
∴四边形PFOM为矩形
∴MP=OF，PF∥AC
∴∠OEP=∠FPB
∵AE=AB
∴∠OEP=∠ABP
∴∠ABP=∠FPB
∵PB=PB，∠PFB=∠PNB=90°
∴△PFB≌△BNP
∴BF=PN
∴OB=OF+FB=PM+PN=AC．（8分）

（3）点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高．
如图③，④都有BG=PM+PN，如图⑤CG=PM-PN．（10分）
点评：此题主要考查了等腰三角形的一个结论：点P是等腰三角形底边所在直线上的任意一点，点P到两腰的距离的和（或差）等于这个等腰三角形腰上的高，然后把这个结论放在不同的图形背景中，进行图形变换，无论变换成什么图形，但结论还是一样．