Question

已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，过点A作直线MN⊥AC，点P是直线MN上的一个动点（与点A不重合），连接CP交AB于点D，设AP=x，AD=y．

（1）如图1，若点P在射线AM上，求y与x的函数解析式；
（2）射线AM上是否存在一点P，使以点D、A、P组成的三角形与△ABC相似，若存在，求AP的长，若不存在，说明理由；
（3）如图2，过点B作BE⊥MN，垂足为E，以C为圆心、AC为半径的⊙C与以P为圆心PD为半径的动⊙P相切，求⊙P的半径．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据相似三角形的判定定理得出△APD∽△BCD，故=，再在Rt△ABC中，根据勾股定理得出AB的长，AP=x，AD=y，即可得出BD=AB-AD=10-y，故可得出结论；
（2）假设射线AM上存在一点P，使以点D、A、P组成的三角形与△ABC相似，由AM∥BC，可知∠B=∠BAE，再由∠ACB=90°，∠APD≠90°，可得出△ABC∽△PAD，故=，进而可得出结论；
（3））由⊙C与⊙P相切，可得AP=x，可分四种情况进行讨论：
①点P在射线MA上，当⊙C与⊙P外切时，PE=x+8，EC=x+8-6=x+2，在直角三角形PAC中，由AC²+AP²=PC²，可得x²+6²=（x+2）²，故可得出x的值；
②当⊙C与⊙P内切时，PE=x-8，PC=x-8-6=x-14，在直角三角形PAC中，AC²+AP²=PC²，即x²+6²=（x-14）²，故可得出x的值．
解答：解：（1）∵AM⊥AC，
∴∠CAM=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠CAM+∠ACB=180°，
∴AM∥BC，
∴∠BCP=∠APC，∠CBA=∠BAP，
∴△APD∽△BCD，
∴=，
在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，
根据勾股定理得：AB==10，
又∵AP=x，AD=y，
∴BD=AB-AD=10-y，
∴=，
则y=（x＞0）；

（2）假设射线AM上存在一点P，使以点D、A、P组成的三角形与△ABC相似，
∵AM∥BC，
∴∠B=∠BAE，
∵∠ACB=90°，∠APD≠90°，
∴△ABC∽△PAD，
∴=，
∴，
解得：x=4.5，
∴当AP的长为4.5时，△ABC∽△PAD；

（3）∵⊙C与⊙P相切，AP=x，
①点P在线AE上，当⊙C与⊙P外切时，PE=x+8，EC=x+8-6=x+2，
在直角三角形PAC中，AC²+AP²=PC²，
∴x²+6²=（x+2）²，
解得：x=8，
∴⊙P的半径为16；
②当⊙C与⊙P内切时，PE=x-8，PC=x-8-6=x-14，
在直角三角形PAC中，AC²+AP²=PC²，
∴x²+6²=（x-14）²，
解得：x=（舍去）
∴当⊙C与⊙P相切时，⊙P的半径为16．
点评：本题考查的是相似三角形的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质及勾股定理，在解答（3）时要注意进行分类讨论，不要漏解．