Question

20．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=x²+bx+c交于A，B（4，5）两点，点A在x轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段AB上一动点（点A，B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使∠PEF=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得点A的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于b、c的方程组，从而可求得b、c的值；
（2）设点E的坐标为（x，x+1），则点F的坐标为F（x，x²-2x-3），则可得到EF与x的函数关系式，利用配方法可求得EF的最大值以及点E的坐标；
（3）过点E作PE⊥EF，交抛物线与点P或点P′，则y_p=$\frac{5}{2}$，将y=$\frac{5}{2}$代入抛物线的解析式得：x²-2x-3=$\frac{5}{2}$，然后可求得点P的横坐标．

解答 解：（1）把y=0代入y=x+1得：x+1=0，解得：x=-1，
∴点A（-1，0）．
将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{16+4b+c=5}\end{array}\right.$，解得：b=-2，c=-3．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．

（2）如图1所示：

设点E的坐标为（x，x+1），则点F的坐标为F（x，x²-2x-3）．
设EF=（x+1）-（x²-2x-3）=-x²+3x+4=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$．
∴当x=$\frac{3}{2}$时，EF有最大值．
将x=$\frac{3}{2}$代入y=x+1得：y=$\frac{5}{2}$．
∴E（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）．

（3）如图2所示：过点E作PE⊥EF，交抛物线与点P或点P′，则y_p=$\frac{5}{2}$．

将y=$\frac{5}{2}$代入抛物线的解析式得：x²-2x-3=$\frac{5}{2}$，解得：x=1+$\frac{\sqrt{26}}{2}$，x=1-$\frac{\sqrt{26}}{2}$．
∴点P的坐标为（1-$\frac{\sqrt{26}}{2}$，$\frac{5}{2}$）或（1+$\frac{\sqrt{26}}{2}$，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、配方法求二次函数的最值、解一元二次方程，列出EF的长与点E的横坐标x之间的函数关系式是解题的关键．