Question

在正方形ABCD中，AB=2，P是BC边上与B、C不重合的任意点，DQ⊥AP于Q．（1）求证：△DQA∽△ABP．
（2）当P点在BC上变化时，线段DQ也随之变化．设PA=x，DQ=y，求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）根据四边形ABCD是正方形，DQ⊥AP，可得∠BAP=∠ADQ，即可求证△DQA∽△ABP．
（2）根据四边形ABCD是正方形和△DQA∽△ABP中的对应边成比例，得出

x

2

=

2

y

即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，DQ⊥AP．
∴∠BAD=∠B，∠AQD=90°，
∴∠B=∠AQD，
又∵∠BAP+∠QAD=90°，∠ADQ+∠QAD=90°
∴∠BAP=∠ADQ，
∴△DQA∽△ABP；

（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△DQA∽△ABP，
∴

PA

AD

=

AB

QD

，
∴

x

2

=

2

y

，
∴xy=4
即 y=

4

x

（2＜x＜2

2

）．

点评：本题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和正方形性质的理解和掌握，此题的关键是利用相似三角形对应边成比例，难度不大，是一道基础题．