Question

在半径为4的⊙0中．AB、CD是两条直径，M是OB的中点．CM的延长线交⊙0于点E．若DE=

15

，（EM＞MC）．则sin∠EOM的值为（　　）

• A．

  15

  2

• B．

  15

  3

• C．

  15

  4

• D．

  15

  5

Answer 1

分析：根据圆周角定理及勾股定理可求出CE的长，再由相交弦定理求出EM的长即可，根据所求EM的长判断出△OEM为等腰三角形，过E作EF⊥OM，根据等腰三角形的性质及勾股定理可求出OF，EF的长，进而求出sin∠EOB的值．

解答：解：∵DC为⊙O的直径，
∴DE⊥EC
∵DC=8，DE=15
∴EC=

DC2-DE2

=

64-15

=7．
设EM=x，由于M为OB的中点，
∴BM=2，AM=6
∴AM•MB=x•（7-x），（3分）
即6×2=x（7-x），x²-7x+12=0
解这个方程，得x₁=3，x₂=4
∵EM＞MC
∴EM=4
∵OE=EM=4
∴△OEM为等腰三角形
过E作EF⊥OM，垂足为F，则OF=

1

2

OM=1
∴EF=

OE2-OF2

=

16-1

=

15

∴sin∠EOB=

15

4

．

点评：本题主要考查了圆周角定理，锐角三角函数定义、勾股定理的知识点，本题关键根据已知条件和图形作好辅助线，结论就很容易求证了．